ランダウ分布; Landau Distributionランダウ分布の確率密度分布、累積分布関数、乱数生成
概要
ランダウ分布とはLev Landauが1944年に提唱した素粒子物理学で用いられる分布で、高速荷電粒子が物質中を通過するときのエネルギー損失量がこの分布に従う。
確率密度分布は以下の式で表現される。
\(\quad \displaystyle p(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} exp(-t(log(t) + x )) \ sin(\pi t) \ d t \)
裾がべき乗則に従って減衰する裾の重い分布(ファットテール)( \(p(x) \approx x^{-2}, \ x \gg 0 \) )をしており、
物質中を通過するときエネルギー損失量の非常に大きい粒子が、十分に存在し得ることを示している。
なお、近似には以下の式が用いられる事があるが、ランダウ分布が有する性質を満たしていない。
・裾が指数減衰するため裾の重い分布ではない
・最頻値となる\(x\)は本来負値をとるにもかかわらず\(0\)
\(\quad \displaystyle p(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} exp \left( -\frac{x+exp(-x)}{2} \right) \)
この記事ではこのランダウ分布について確率密度分布・累積分布関数の算出、乱数生成について行う。
累積分布関数を求めるためには2回積分しなければいけないため、精度には気をつける必要がある。(最も苦労しました)
確率密度分布の算出
確率密度分布関数の被積分関数は以下の式である。
\(\quad g(t; x) = exp(-t(log(t) + x )) \ sin(\pi t) \)
有効桁数14桁程度(double型の有効桁)の精度を確保するため、この確率密度分布の関数値の算出方法は以下の3つに分ける。
なお、double型では満足いく精度が得られないためboostのmultiprecisionクラスを用いた。詳しくはこちら
数値積分にはRomberg積分を用いている。詳しくはこちら
・\(-4 \leq x \lt -1 \) 2つ目のピークが1つ目のピークより絶対値が大きくなる領域
この領域では桁落ちに気をつける必要があるため、512bitの仮数部をもつ浮動小数点型を用いる。
・\(g(t; x)\)のエンベロープ\(exp(-t(log(t) + x )) \)のピークとなる\(t_{peak} = exp(-x - 1)\)を得る。
・積分値を\(v=0\)、積分区間下限を\(t=0\)として初期化する。
・積分区分値\( \Delta v \)が十分小さい( \( |\Delta v| \leq 10^{-28}\) ) かつ \( t \gt t_{peak} \)を満たすまで以下を繰り返す。
- \( \Delta v = \displaystyle \int_{t}^{t+1} g(t; x) d t \)
- \( v = v + \Delta v, \ t = t + 1 \)
・\(v = v / \pi \)
・\(-1 \leq x \lt 10 \) \(g\)の積分区間[1,2] / 積分区間[0,1]が\(10^{-5}\)オーダー以上となる領域
この領域では積分値の収束が遅い。256bitの仮数部をもつ浮動小数点型を用いる。
・\(v_0 = \displaystyle \int_{0}^{1} g(t; x) d t \)を得る。
・積分値を\(v=v_0\)、積分区間下限を\(t=1\)として初期化する。
・積分区分値\( \Delta v \)が十分小さくなる( \(|\Delta v / v_0| \leq 10^{-18} \) )まで以下を繰り返す。
- \( \Delta v = \displaystyle \int_{t}^{t+1} g(t; x) d t \)
- \( v = v + \Delta v, \ t = t + 1 \)
・\(v = v / \pi \)
・\(x \geq 10 \) \(g\)の積分区間[1,2] / 積分区間[0,1]が\(10^{-5}\)オーダー未満となる領域
この領域では積分区間を1単位より小さくしたほうが精度が高くなる。256bitの仮数部をもつ浮動小数点型を用いる。
・\(g\)のピークとなる\(t_{peak}\)を得る。
-\(t_{peak}\)は以下を満たす\(t\)である。ニュートン法(初期値を\( t_0 = 1/x \)とする)で求める。詳しくはこちら
\(\displaystyle x = \pi \frac{cos(\pi t)}{sin(\pi t)}-log(t)-1 \)
・積分区間を\(h=5 t_{peak}\)とする。
・\(v_0 = \displaystyle \int_{0}^{h} g(t; x) d t \)を得る。
・積分値を\(v=v_0\)、積分区間下限を\(t=h\)として初期化する。
・積分区分値\( \Delta v \)が十分小さい( \(|\Delta v / v_0| \leq 10^{-18} \) )かつ\( \lceil t \rceil \neq \lfloor t + h \rfloor \)を満たすまで以下を繰り返す。
- \( \Delta v = \displaystyle \int_{t}^{t+h} g(t; x) d t \)
- \( v = v + \Delta v, \ t = t + h \)
・\(v = v / \pi \)
\(t_{peak}\)は以下のようになる。
算出した関数値はこちら
最頻値は\(p(x_{mode})=0.180655633820551, \ \ x_{mode}=-0.222782981256408\)。
平均・分散は定義されない。
累積分布関数の関数値算出
累積分布関数の関数値を得るには確率密度分布を補間する必要がある。
方針としては確率密度分布の関数値をそのまま3次スプライン補間するのではなく、
確率密度分布の関数値の対数を3次スプライン補間し指数関数に与えることで精度を上げる。
なお、ピークを含む区間は5次多項式で補間する。(区間上下の関数値と微分値、ピークの関数値とx座標で6係数は一意に定まる)
3次スプライン(単調スプライン)についてはこちら
3次スプライン補間を使って内挿できない-4未満の値は以下の式で求める。
\(p_{-}(x) = exp( b \ exp(-a x)),\quad a = 1.003228285068704, \ \ b = -0.3526169051373608 \)
数値計算していない10000000以上は以下の式で求める。
\(p_{+}(x) = t x^s,\quad s = -2.000002845690263, \ \ t = 1.000048907367959 \)
累積分布関数
算出した関数値はこちら
乱数生成
算出した累積分布関数を使って逆関数法によりランダウ分布に従う乱数生成を行う。
方針としては逆累積分布関数を3次スプラインで補間する形になるが、
ランダウ分布の逆累積分布関数はべき曲線を含むため、そのまま3次曲線補間しようとすると誤差が大きくなってしまう。
そのため両対数をとる変数変換を用いて3次曲線補間しやすいようにする。
・x軸方向
\(\quad x = 1 / (1 + exp(-28 u + 14)) \\ \quad u = (log(x / (1 - x)) + 14) / 28 \)
・y軸方向
\(\quad y = exp(v) - 8 \\ \quad v = log(y + 8) \)
ちなみにGSLでは逆累積分布関数をそのまま線形補間している。
乱数生成ソースコード
namespace ExRandom.Continuous {
public class LandauRandom : Random{
readonly MT19937 mt;
readonly double s, mu;
public LandauRandom(MT19937 mt, double s = 1, double mu = 0) {
if(mt == null) {
throw new ArgumentNullException();
}
if(!(s > 0) || Double.IsNaN(mu)) {
throw new ArgumentException();
}
this.mt = mt;
this.s = s;
this.mu = mu;
}
public override double Next() {
double r = mt.NextDouble_OpenInterval01();
double x = InverseCDF(r);
return x * s + mu;
}
static LandauRandom() {
table_grad = new double[table.Length];
for(int i = 1; i < table_grad.Length - 1; i++) {
table_grad[i] = Grad(table[i - 1], table[i], table[i + 1]);
}
table_grad[0] = table_grad[1];
table_grad[table_size] = table_grad[table_size - 1];
}
static double Grad(double vm1, double v0, double vp1) {
double vv = (vm1 - v0) * (v0 - vp1);
return (vv > 0) ? (2 * vv / (vp1 - vm1)) : 0;
}
static double ApproxTable(double u) {
double w = u * table_size, v = w - Math.Floor(w);
int pos = (int)Math.Floor(w);
if(pos < 0) {
double v0 = table[0], v1 = table[1];
double g = v0 - v1;
return v0 - w * g;
}
else if(pos >= table_size) {
double v0 = table[table_size], v1 = table[table_size - 1];
double g = v1 - v0;
return v0 - (w - table_size) * g;
}
else {
double v0 = table[pos], v1 = table[pos + 1];
double g0 = table_grad[pos], g1 = table_grad[pos + 1];
double a = v0;
double b = g0;
double c = -3 * (v0 - v1) - 2 * g0 - g1;
double d = 2 * (v0 - v1) + g0 + g1;
return a + v * (b + v * (c + v * d));
}
}
static double InverseCDF(double x) {
double u = (Math.Log(x / (1 - x)) + 14) / 28;
return Math.Exp(ApproxTable(u)) - 8;
}
const int table_size = 1000;
static readonly double[] table_grad;
static readonly double[] table = {
1.510933788457820e+00,1.511437546574627e+00,1.511942156394705e+00,1.512447620873696e+00,1.512953943072885e+00,
1.513461126158531e+00,1.513969173401236e+00,1.514478088175363e+00,1.514987873958505e+00,1.515498534330988e+00,
1.516010072975432e+00,1.516522493676347e+00,1.517035800319773e+00,1.517549996892973e+00,1.518065087484161e+00,
1.518581076282274e+00,1.519097967576792e+00,1.519615765757597e+00,1.520134475314873e+00,1.520654100839057e+00,
1.521174647020816e+00,1.521696118651085e+00,1.522218520621135e+00,1.522741857922684e+00,1.523266135648053e+00,
1.523791358990362e+00,1.524317533243767e+00,1.524844663803739e+00,1.525372756167387e+00,1.525901815933816e+00,
1.526431848571050e+00,1.526962857319463e+00,1.527494844214860e+00,1.528027811430563e+00,1.528561761292328e+00,
1.529096696276972e+00,1.529632619011070e+00,1.530169532269715e+00,1.530707438975346e+00,1.531246342196642e+00,
1.531786245147476e+00,1.532327151185940e+00,1.532869063813431e+00,1.533411986673802e+00,1.533955923552575e+00,
1.534500878376216e+00,1.535046855211478e+00,1.535593858264803e+00,1.536141891881783e+00,1.536690960546690e+00,
1.537241068882065e+00,1.537792221648363e+00,1.538344423743668e+00,1.538897680203464e+00,1.539451996200468e+00,
1.540007377044522e+00,1.540563828182552e+00,1.541121355198581e+00,1.541679963813801e+00,1.542239659886717e+00,
1.542800449413341e+00,1.543362338527446e+00,1.543925333500892e+00,1.544489440744000e+00,1.545054666805996e+00,
1.545621018375510e+00,1.546188502281143e+00,1.546757125492089e+00,1.547326895118825e+00,1.547897818254673e+00,
1.548469899636849e+00,1.549043142191571e+00,1.549617548987557e+00,1.550193123290194e+00,1.550769868560202e+00,
1.551347788452407e+00,1.551926886814581e+00,1.552507167686382e+00,1.553088635298365e+00,1.553671294071092e+00,
1.554255148614315e+00,1.554840203726253e+00,1.555426464392946e+00,1.556013935787705e+00,1.556602623270633e+00,
1.557192532388242e+00,1.557783668873152e+00,1.558376038643870e+00,1.558969647804665e+00,1.559564502645517e+00,
1.560160609642159e+00,1.560757975456203e+00,1.561356606935354e+00,1.561956511113702e+00,1.562557695212115e+00,
1.563160166638707e+00,1.563763932989401e+00,1.564369002048576e+00,1.564975381789805e+00,1.565583080376683e+00,
1.566192106163743e+00,1.566802467697465e+00,1.567414173717372e+00,1.568027233157228e+00,1.568641655146250e+00,
1.569257447946269e+00,1.569874616282233e+00,1.570493164303321e+00,1.571113096414147e+00,1.571734417273617e+00,
1.572357131793895e+00,1.572981245139481e+00,1.573606762726405e+00,1.574233690221533e+00,1.574862033541985e+00,
1.575491798854673e+00,1.576122992575950e+00,1.576755621371375e+00,1.577389692155600e+00,1.578025212092366e+00,
1.578662188594630e+00,1.579300629324795e+00,1.579940542195075e+00,1.580581935367974e+00,1.581224817256884e+00,
1.581869196526815e+00,1.582515082095242e+00,1.583162483133078e+00,1.583811409065781e+00,1.584461869574577e+00,
1.585113874597825e+00,1.585767434332503e+00,1.586422559235833e+00,1.587079260027041e+00,1.587737547689245e+00,
1.588397433471491e+00,1.589058928890926e+00,1.589722045288588e+00,1.590386790189107e+00,1.591053169233031e+00,
1.591721188371832e+00,1.592390853888558e+00,1.593062172397312e+00,1.593735150842888e+00,1.594409796500555e+00,
1.595086116976002e+00,1.595764120205431e+00,1.596443814455824e+00,1.597125208325357e+00,1.597808310743985e+00,
1.598493130974193e+00,1.599179678611908e+00,1.599867963587588e+00,1.600557996167480e+00,1.601249786955054e+00,
1.601943346892611e+00,1.602638687263073e+00,1.603335819691960e+00,1.604034756149543e+00,1.604735508953197e+00,
1.605438090769934e+00,1.606142514619144e+00,1.606848793875522e+00,1.607556942272210e+00,1.608266973904135e+00,
1.608978903231562e+00,1.609692743856539e+00,1.610408495614991e+00,1.611126166182198e+00,1.611845767309648e+00,
1.612567310720513e+00,1.613290808186779e+00,1.614016271807847e+00,1.614743713565380e+00,1.615473145629175e+00,
1.616204580417080e+00,1.616938030209117e+00,1.617673507600100e+00,1.618411025282641e+00,1.619150595905726e+00,
1.619892232484016e+00,1.620635947969024e+00,1.621381755449957e+00,1.622129668314719e+00,1.622879699816142e+00,
1.623631863531555e+00,1.624386173142820e+00,1.625142642313062e+00,1.625901285087276e+00,1.626662115420407e+00,
1.627425147489339e+00,1.628190395710020e+00,1.628957874405187e+00,1.629727598292188e+00,1.630499582069961e+00,
1.631273840585394e+00,1.632050388996938e+00,1.632829242352514e+00,1.633610416094549e+00,1.634393925685385e+00,
1.635179786719580e+00,1.635968015124143e+00,1.636758626723292e+00,1.637551637753415e+00,1.638347064458112e+00,
1.639144923261318e+00,1.639945230889149e+00,1.640748003999106e+00,1.641553259689661e+00,1.642361015011311e+00,
1.643171287307060e+00,1.643984094121663e+00,1.644799453031981e+00,1.645617382040664e+00,1.646437899061663e+00,
1.647261022439826e+00,1.648086770555793e+00,1.648915162028094e+00,1.649746215749084e+00,1.650579950631600e+00,
1.651416386041157e+00,1.652255541271990e+00,1.653097436080615e+00,1.653942090241991e+00,1.654789523852584e+00,
1.655639757215406e+00,1.656492810769786e+00,1.657348705345027e+00,1.658207461767170e+00,1.659069101358395e+00,
1.659933645397619e+00,1.660801115657238e+00,1.661671533931319e+00,1.662544922420668e+00,1.663421303470092e+00,
1.664300699712202e+00,1.665183134057491e+00,1.666068629590676e+00,1.666957209791172e+00,1.667848898225156e+00,
1.668743718939343e+00,1.669641696013908e+00,1.670542854061379e+00,1.671447217707544e+00,1.672354812132711e+00,
1.673265662536270e+00,1.674179794674099e+00,1.675097234341986e+00,1.676018007885429e+00,1.676942141714897e+00,
1.677869662784157e+00,1.678800598134206e+00,1.679734975348554e+00,1.680672822113719e+00,1.681614166665924e+00,
1.682559037352575e+00,1.683507463085958e+00,1.684459472891280e+00,1.685415096379438e+00,1.686374363273282e+00,
1.687337303902478e+00,1.688303948712222e+00,1.689274328766571e+00,1.690248475264392e+00,1.691226420014653e+00,
1.692208195007281e+00,1.693193832803494e+00,1.694183366224938e+00,1.695176828592709e+00,1.696174253599833e+00,
1.697175675340703e+00,1.698181128411732e+00,1.699190647707938e+00,1.700204268743942e+00,1.701222027267394e+00,
1.702243959697352e+00,1.703270102713851e+00,1.704300493612692e+00,1.705335170086134e+00,1.706374170301510e+00,
1.707417533006657e+00,1.708465297286163e+00,1.709517502925250e+00,1.710574190033382e+00,1.711635399372729e+00,
1.712701172193664e+00,1.713771550225069e+00,1.714846575886187e+00,1.715926291968285e+00,1.717010741980329e+00,
1.718099969934471e+00,1.719194020387376e+00,1.720292938619296e+00,1.721396770343811e+00,1.722505562005308e+00,
1.723619360655206e+00,1.724738213883722e+00,1.725862170067535e+00,1.726991278119092e+00,1.728125587628506e+00,
1.729265148956311e+00,1.730410013006450e+00,1.731560231457569e+00,1.732715856736339e+00,1.733876941866372e+00,
1.735043540698546e+00,1.736215707836335e+00,1.737393498537081e+00,1.738576968917610e+00,1.739766175881958e+00,
1.740961177032942e+00,1.742162030857054e+00,1.743368796686319e+00,1.744581534589451e+00,1.745800305535456e+00,
1.747025171405922e+00,1.748256194874414e+00,1.749493439515850e+00,1.750736969871870e+00,1.751986851375683e+00,
1.753243150347742e+00,1.754505934108374e+00,1.755775270978368e+00,1.757051230203057e+00,1.758333882025915e+00,
1.759623297747595e+00,1.760919549720151e+00,1.762222711294874e+00,1.763532856898973e+00,1.764850062076696e+00,
1.766174403496242e+00,1.767505958915779e+00,1.768844807228705e+00,1.770191028513201e+00,1.771544704047576e+00,
1.772905916314321e+00,1.774274748990511e+00,1.775651287004350e+00,1.777035616563013e+00,1.778427825170903e+00,
1.779828001646659e+00,1.781236236124704e+00,1.782652620089521e+00,1.784077246411233e+00,1.785510209367125e+00,
1.786951604663695e+00,1.788401529459400e+00,1.789860082384805e+00,1.791327363561708e+00,1.792803474638527e+00,
1.794288518817349e+00,1.795782600879314e+00,1.797285827210617e+00,1.798798305829102e+00,1.800320146411439e+00,
1.801851460320856e+00,1.803392360635420e+00,1.804942962176772e+00,1.806503381538968e+00,1.808073737119034e+00,
1.809654149147647e+00,1.811244739719647e+00,1.812845632825032e+00,1.814456954380447e+00,1.816078832261162e+00,
1.817711396333525e+00,1.819354778487896e+00,1.821009112672067e+00,1.822674534925158e+00,1.824351183412009e+00,
1.826039198458070e+00,1.827738722584814e+00,1.829449900545574e+00,1.831172879360736e+00,1.832907808354094e+00,
1.834654839190398e+00,1.836414125913075e+00,1.838185824982563e+00,1.839970095315327e+00,1.841767098323624e+00,
1.843576997956075e+00,1.845399960738897e+00,1.847236155808130e+00,1.849085754945018e+00,1.850948932628288e+00,
1.852825866079346e+00,1.854716735308140e+00,1.856621723152038e+00,1.858541015288067e+00,1.860474800300605e+00,
1.862423269742220e+00,1.864386618179476e+00,1.866365043184753e+00,1.868358745407366e+00,1.870367928661499e+00,
1.872392799937934e+00,1.874433569396623e+00,1.876490450506901e+00,1.878563660068457e+00,1.880653418172460e+00,
1.882759948379613e+00,1.884883477688388e+00,1.887024236554955e+00,1.889182459065796e+00,1.891358382807887e+00,
1.893552249092094e+00,1.895764302864464e+00,1.897994792841458e+00,1.900243971512899e+00,1.902512095209275e+00,
1.904799424137929e+00,1.907106222456755e+00,1.909432758265737e+00,1.911779303757847e+00,1.914146135119644e+00,
1.916533532749054e+00,1.918941781159735e+00,1.921371169094471e+00,1.923821989614611e+00,1.926294540040591e+00,
1.928789122078425e+00,1.931306041880831e+00,1.933845610036639e+00,1.936408141632911e+00,1.938993956333562e+00,
1.941603378416364e+00,1.944236736808373e+00,1.946894365124204e+00,1.949576601729294e+00,1.952283789786806e+00,
1.955016277301714e+00,1.957774417166035e+00,1.960558567204720e+00,1.963369090221791e+00,1.966206354046435e+00,
1.969070731578877e+00,1.971962600836027e+00,1.974882344997128e+00,1.977830352449925e+00,1.980807016838287e+00,
1.983812737112703e+00,1.986847917571113e+00,1.989912967883505e+00,1.993008303158766e+00,1.996134344016494e+00,
1.999291516618412e+00,2.002480252641644e+00,2.005700989450112e+00,2.008954170088567e+00,2.012240243249959e+00,
2.015559663530350e+00,2.018912891195973e+00,2.022300392561327e+00,2.025722639699799e+00,2.029180110814365e+00,
2.032673290083577e+00,2.036202667726242e+00,2.039768740239908e+00,2.043372010298947e+00,2.047012986736277e+00,
2.050692185236086e+00,2.054410127334141e+00,2.058167340408458e+00,2.061964359956841e+00,2.065801727209258e+00,
2.069679990197088e+00,2.073599703749359e+00,2.077561429567197e+00,2.081565736305363e+00,2.085613199652705e+00,
2.089704402419434e+00,2.093839934684321e+00,2.098020393849365e+00,2.102246384718214e+00,2.106518519696332e+00,
2.110837418791289e+00,2.115203709833964e+00,2.119618028511547e+00,2.124081018551781e+00,2.128593331831417e+00,
2.133155628501079e+00,2.137768577132525e+00,2.142432854860109e+00,2.147149147524192e+00,2.151918149819613e+00,
2.156740565449438e+00,2.161617107282538e+00,2.166548497512635e+00,2.171535467816514e+00,2.176578759527243e+00,
2.181679123802356e+00,2.186837321784214e+00,2.192054124785793e+00,2.197330314455563e+00,2.202666682951820e+00,
2.208064033122166e+00,2.213523178675490e+00,2.219044944355259e+00,2.224630166112170e+00,2.230279691274092e+00,
2.235994378715112e+00,2.241775099017826e+00,2.247622734629846e+00,2.253538180024653e+00,2.259522341841503e+00,
2.265576139031314e+00,2.271700502987615e+00,2.277896377669236e+00,2.284164719714152e+00,2.290506498541257e+00,
2.296922696439569e+00,2.303414308646156e+00,2.309982343404733e+00,2.316627822014189e+00,2.323351778854751e+00,
2.330155261399967e+00,2.337039330207008e+00,2.344005058886629e+00,2.351053534051774e+00,2.358185855241977e+00,
2.365403134823844e+00,2.372706497866095e+00,2.380097081987319e+00,2.387576037175380e+00,2.395144525577967e+00,
2.402803721262304e+00,2.410554809944162e+00,2.418398988682562e+00,2.426337465542789e+00,2.434371459223335e+00,
2.442502198647861e+00,2.450730922520892e+00,2.459058878846131e+00,2.467487324406966e+00,2.476017524208546e+00,
2.484650750881000e+00,2.493388284043026e+00,2.502231409625951e+00,2.511181419157754e+00,2.520239609007140e+00,
2.529407279587528e+00,2.538685734521238e+00,2.548076279764006e+00,2.557580222690427e+00,2.567198871140743e+00,
2.576933532429578e+00,2.586785512317779e+00,2.596756113947926e+00,2.606846636744953e+00,2.617058375283091e+00,
2.627392618120432e+00,2.637850646602874e+00,2.648433733639106e+00,2.659143142448486e+00,2.669980125283919e+00,
2.680945922131832e+00,2.692041759391640e+00,2.703268848537086e+00,2.714628384762072e+00,2.726121545613680e+00,
2.737749489615198e+00,2.749513354882069e+00,2.761414257733813e+00,2.773453291305009e+00,2.785631524158557e+00,
2.797949998904458e+00,2.810409730827451e+00,2.823011706526851e+00,2.835756882571996e+00,2.848646184176701e+00,
2.861680503896145e+00,2.874860700349586e+00,2.888187596972287e+00,2.901661980800011e+00,2.915284601289346e+00,
2.929056169177115e+00,2.942977355382001e+00,2.957048789951422e+00,2.971271061056625e+00,2.985644714038795e+00,
3.000170250508873e+00,3.014848127503627e+00,3.029678756700341e+00,3.044662503692357e+00,3.059799687327492e+00,
3.075090579111177e+00,3.090535402675991e+00,3.106134333319007e+00,3.121887497608236e+00,3.137794973059171e+00,
3.153856787882248e+00,3.170072920801836e+00,3.186443300947117e+00,3.202967807815003e+00,3.219646271305041e+00,
3.236478471825998e+00,3.253464140473642e+00,3.270602959278980e+00,3.287894561526056e+00,3.305338532138159e+00,
3.322934408131144e+00,3.340681679132339e+00,3.358579787963366e+00,3.376628131285023e+00,3.394826060302195e+00,
3.413172881526655e+00,3.431667857595439e+00,3.450310208142370e+00,3.469099110720186e+00,3.488033701770642e+00,
3.507113077639829e+00,3.526336295635911e+00,3.545702375126397e+00,3.565210298672022e+00,3.584859013194247e+00,
3.604647431173404e+00,3.624574431874438e+00,3.644638862597250e+00,3.664839539948606e+00,3.685175251132617e+00,
3.705644755256824e+00,3.726246784650944e+00,3.746980046195400e+00,3.767843222656786e+00,3.788834974027521e+00,
3.809953938866978e+00,3.831198735641473e+00,3.852567964060593e+00,3.874060206407404e+00,3.895674028860204e+00,
3.917407982803577e+00,3.939260606126597e+00,3.961230424506152e+00,3.983315952673472e+00,4.005515695662036e+00,
4.027828150035169e+00,4.050251805091743e+00,4.072785144048511e+00,4.095426645197714e+00,4.118174783038739e+00,
4.141028029382674e+00,4.163984854428764e+00,4.187043727811856e+00,4.210203119620021e+00,4.233461501381680e+00,
4.256817347021623e+00,4.280269133785436e+00,4.303815343131935e+00,4.327454461593305e+00,4.351184981602712e+00,
4.375005402289286e+00,4.398914230240381e+00,4.422909980231178e+00,4.446991175921695e+00,4.471156350521391e+00,
4.495404047421591e+00,4.519732820796010e+00,4.544141236169743e+00,4.568627870957105e+00,4.593191314968773e+00,
4.617830170888732e+00,4.642543054721536e+00,4.667328596210479e+00,4.692185439227258e+00,4.717112242133772e+00,
4.742107678116697e+00,4.767170435495567e+00,4.792299218004990e+00,4.817492745051769e+00,4.842749751947638e+00,
4.868068990118387e+00,4.893449227290053e+00,4.918889247653033e+00,4.944387852004785e+00,4.969943857871967e+00,
4.995556099612691e+00,5.021223428499717e+00,5.046944712785319e+00,5.072718837748549e+00,5.098544705725698e+00,
5.124421236124619e+00,5.150347365423696e+00,5.176322047156137e+00,5.202344251880298e+00,5.228412967136737e+00,
5.254527197392657e+00,5.280685963974411e+00,5.306888304988708e+00,5.333133275233139e+00,5.359419946096658e+00,
5.385747405450597e+00,5.412114757530793e+00,5.438521122811406e+00,5.464965637870959e+00,5.491447455251127e+00,
5.517965743308799e+00,5.544519686061893e+00,5.571108483029408e+00,5.597731349066168e+00,5.624387514192695e+00,
5.651076223420653e+00,5.677796736574249e+00,5.704548328107997e+00,5.731330286921212e+00,5.758141916169608e+00,
5.784982533074316e+00,5.811851468728682e+00,5.838748067903135e+00,5.865671688848431e+00,5.892621703097566e+00,
5.919597495266604e+00,5.946598462854715e+00,5.973624016043619e+00,6.000673577496708e+00,6.027746582158046e+00,
6.054842477051444e+00,6.081960721079829e+00,6.109100784825065e+00,6.136262150348415e+00,6.163444310991800e+00,
6.190646771180007e+00,6.217869046223985e+00,6.245110662125368e+00,6.272371155382346e+00,6.299650072796995e+00,
6.326946971284181e+00,6.354261417682122e+00,6.381592988564725e+00,6.408941270055751e+00,6.436305857644907e+00,
6.463686356005930e+00,6.491082378816718e+00,6.518493548581585e+00,6.545919496455667e+00,6.573359862071550e+00,
6.600814293368149e+00,6.628282446421870e+00,6.655763985280102e+00,6.683258581797055e+00,6.710765915471969e+00,
6.738285673289715e+00,6.765817549563809e+00,6.793361245781834e+00,6.820916470453303e+00,6.848482938959951e+00,
6.876060373408454e+00,6.903648502485604e+00,6.931247061315900e+00,6.958855791321568e+00,6.986474440085011e+00,
7.014102761213683e+00,7.041740514207316e+00,7.069387464327580e+00,7.097043382470094e+00,7.124708045038792e+00,
7.152381233822625e+00,7.180062735874581e+00,7.207752343392998e+00,7.235449853605150e+00,7.263155068653084e+00,
7.290867795481684e+00,7.318587845728938e+00,7.346315035618369e+00,7.374049185853627e+00,7.401790121515203e+00,
7.429537671959226e+00,7.457291670718338e+00,7.485051955404596e+00,7.512818367614399e+00,7.540590752835370e+00,
7.568368960355215e+00,7.596152843172481e+00,7.623942257909213e+00,7.651737064725477e+00,7.679537127235704e+00,
7.707342312426836e+00,7.735152490578250e+00,7.762967535183414e+00,7.790787322873256e+00,7.818611733341216e+00,
7.846440649269943e+00,7.874273956259620e+00,7.902111542757876e+00,7.929953299991263e+00,7.957799121898262e+00,
7.985648905063800e+00,8.013502548655237e+00,8.041359954359807e+00,8.069221026323470e+00,8.097085671091166e+00,
8.124953797548426e+00,8.152825316864323e+00,8.180700142435736e+00,8.208578189832893e+00,8.236459376746178e+00,
8.264343622934166e+00,8.292230850172865e+00,8.320120982206146e+00,8.348013944697321e+00,8.375909665181860e+00,
8.403808073021217e+00,8.431709099357736e+00,8.459612677070628e+00,8.487518740732979e+00,8.515427226569776e+00,
8.543338072416936e+00,8.571251217681294e+00,8.599166603301559e+00,8.627084171710184e+00,8.655003866796160e+00,
8.682925633868691e+00,8.710849419621743e+00,8.738775172099443e+00,8.766702840662309e+00,8.794632375954291e+00,
8.822563729870611e+00,8.850496855526371e+00,8.878431707225926e+00,8.906368240433000e+00,8.934306411741514e+00,
8.962246178847135e+00,8.990187500519510e+00,9.018130336575170e+00,9.046074647851102e+00,9.074020396178958e+00,
9.101967544359896e+00,9.129916056140034e+00,9.157865896186502e+00,9.185817030064082e+00,9.213769424212416e+00,
9.241723045923773e+00,9.269677863321363e+00,9.297633845338171e+00,9.325590961696334e+00,9.353549182886998e+00,
9.381508480150687e+00,9.409468825458141e+00,9.437430191491625e+00,9.465392551626724e+00,9.493355879914543e+00,
9.521320151064374e+00,9.549285340426785e+00,9.577251423977109e+00,9.605218378299364e+00,9.633186180570545e+00,
9.661154808545314e+00,9.689124240541071e+00,9.717094455423373e+00,9.745065432591734e+00,9.773037151965757e+00,
9.801009593971614e+00,9.828982739528858e+00,9.856956570037554e+00,9.884931067365728e+00,9.912906213837123e+00,
9.940881992219259e+00,9.968858385711772e+00,9.996835377935055e+00,1.002481295291916e+01,1.005279109509299e+01,
1.008076978927371e+01,1.010874902065650e+01,1.013672877480445e+01,1.016470903763878e+01,1.019268979542926e+01,
1.022067103478488e+01,1.024865274264473e+01,1.027663490626910e+01,1.030461751323080e+01,1.033260055140667e+01,
1.036058400896933e+01,1.038856787437909e+01,1.041655213637606e+01,1.044453678397247e+01,1.047252180644511e+01,
1.050050719332803e+01,1.052849293440533e+01,1.055647901970418e+01,1.058446543948799e+01,1.061245218424968e+01,
1.064043924470516e+01,1.066842661178699e+01,1.069641427663805e+01,1.072440223060555e+01,1.075239046523496e+01,
1.078037897226426e+01,1.080836774361818e+01,1.083635677140265e+01,1.086434604789933e+01,1.089233556556028e+01,
1.092032531700272e+01,1.094831529500390e+01,1.097630549249612e+01,1.100429590256180e+01,1.103228651842868e+01,
1.106027733346510e+01,1.108826834117538e+01,1.111625953519529e+01,1.114425090928764e+01,1.117224245733786e+01,
1.120023417334979e+01,1.122822605144145e+01,1.125621808584089e+01,1.128421027088221e+01,1.131220260100151e+01,
1.134019507073301e+01,1.136818767470522e+01,1.139618040763711e+01,1.142417326433439e+01,1.145216623968586e+01,
1.148015932865980e+01,1.150815252630037e+01,1.153614582772409e+01,1.156413922811641e+01,1.159213272272824e+01,
1.162012630687261e+01,1.164811997592128e+01,1.167611372530144e+01,1.170410755049246e+01,1.173210144702261e+01,
1.176009541046591e+01,1.178808943643885e+01,1.181608352059732e+01,1.184407765863344e+01,1.187207184627240e+01,
1.190006607926947e+01,1.192806035340680e+01,1.195605466449044e+01,1.198404900834725e+01,1.201204338082186e+01,
1.204003777777365e+01,1.206803219507368e+01,1.209602662860172e+01,1.212402107424315e+01,1.215201552788603e+01,
1.218000998541796e+01,1.220800444272314e+01,1.223599889567925e+01,1.226399334015445e+01,1.229198777200428e+01,
1.231998218706861e+01,1.234797658116851e+01,1.237597095010314e+01,1.240396528964664e+01,1.243195959554493e+01,
1.245995386351253e+01,1.248794808922939e+01,1.251594226833756e+01,1.254393639643799e+01,1.257193046908715e+01,
1.259992448179373e+01,1.262791843001519e+01,1.265591230915437e+01,1.268390611455597e+01,1.271189984150304e+01,
1.273989348521339e+01,1.276788704083594e+01,1.279588050344704e+01,1.282387386804671e+01,1.285186712955481e+01,
1.287986028280719e+01,1.290785332255171e+01,1.293584624344425e+01,1.296383904004457e+01,1.299183170681218e+01,
1.301982423810207e+01,1.304781662816036e+01,1.307580887111991e+01,1.310380096099577e+01,1.313179289168060e+01,
1.315978465693996e+01,1.318777625040748e+01,1.321576766557998e+01,1.324375889581243e+01,1.327174993431283e+01,
1.329974077413695e+01,1.332773140818300e+01,1.335572182918607e+01,1.338371202971258e+01,1.341170200215447e+01,
1.343969173872336e+01,1.346768123144449e+01,1.349567047215052e+01,1.352365945247525e+01,1.355164816384711e+01,
1.357963659748249e+01,1.360762474437898e+01,1.363561259530835e+01,1.366360014080939e+01,1.369158737118057e+01,
1.371957427647255e+01,1.374756084648040e+01,1.377554707073569e+01,1.380353293849842e+01,1.383151843874858e+01,
1.385950356017770e+01,1.388748829117998e+01,1.391547261984334e+01,1.394345653394015e+01,1.397144002091769e+01,
1.399942306788850e+01
};
}
}
関連項目
メルセンヌ・ツイスタ
各種確率分布サンプリング基本クラス
