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割線法; Secant Method

概要

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割線法は関数値が0を通る点を求める求根アルゴリズムの一つ。領域の端2点を通る直線とx軸との交点を新たな領域の端とすることを繰り返し根を求める。
挟み撃ち法と似ているが、両端を更新していくところが異なる。


アルゴリズム

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\(f(x)=0\)となる\(x\)を求める。
・初期値
-根を含む領域\([x_0, x_1]\)を設定する。

・収束計算
-領域の端2点を通る直線とx軸との交点を求める。
\(\quad \displaystyle x_n = \frac{x_{n-2} f(x_{n-1})-x_{n-1} f(x_{n-2})} {f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})} \)

留意点

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十分に収束すると\(f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})\)が0に近づくため、計算誤差が大きくなる。そのためあまり精度が出ない。
他の求根アルゴリズムに切り替える必要がある

ソースコード

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namespace RootFindingMethod {

    /// <summary>割線法</summary>
    /// <remarks>f(x)=0となるxを求める</remarks>
    public static class SecantMethod {

        /// <summary>求根</summary>
        /// <param name="func">f(x)=0となる関数f(x)</param>
        /// <param name="xa">求根範囲</param>
        /// <param name="xb">求根範囲</param>
        /// <param name="precision_level">精度レベル</param>
        /// <remarks>f(xa), f(xb)は異符号である必要がある</remarks>
        public static double Execute(Func<double, double> func, double xa, double xb, int precision_level) {
            double a = func(xa), b = func(xb), c, xc = xa;

            if((a > 0 && b > 0) || (a < 0 && b < 0)) {
                throw new ArgumentException($"Invalid Range {nameof(xa)}, {nameof(xb)}");
            }

            while(precision_level > 0 && a != b) {
                xc = (xb * a - xa * b) / (a - b);
                c = func(xc);

                xb = xa;
                b = a;

                xa = xc;
                a = c;

                precision_level--;
            }

            return xc;
        }
    }
}

単体テスト

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namespace RootFindingMethod.Tests {
    [TestClass()]
    public class SecantMethodTests {
        [TestMethod()]
        public void ExecuteTest1() {
            Func<double, double> func = (x) => x * x - 2;

            double v = SecantMethod.Execute(func, 0, 2, 20);

            Assert.AreEqual(v, Math.Sqrt(2), 1e-14);
        }
    
        [TestMethod()]
        public void ExecuteTest2() {
            Func<double, double> func = (x) => x * x - 2;

            double v = SecantMethod.Execute(func, 2, 0, 20);

            Assert.AreEqual(v, Math.Sqrt(2), 1e-14);
        }
    }
}

関連項目

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ニュートンラフソン法
二分法
挟み撃ち法